La courbe la plus magnifique de toutes: La cycloïde

Cette section m’a été inspirée par le livre d’Alex Bellos: Alex et la magie des nombres (un nouveau voyage au pays des mathématiques.

Dans le chapitre V: Faites rouler la révolution, l’auteur nous parle du cercle, mais d’une manière tout à fait nouvelle, du moins pour moi.

La cycloïde est en fait la courbe créée par la trajectoire d’un point sur la circonférence d’une roue en mouvement. Comme la figure ci-dessous le témoigne.

Cette courbe, si elle est inversée, a des propriétés plus qu’étonnantes. En effet, si nous laissons rouler des billes, sans friction le long d’une cycloïde et de différentes hauteurs, elles mettront exactement le même temps à atteindre le fond!

L’histoire de cette courbe a atteint son plus haut niveau de popularité lors du 17ème siècle, lorsque Jean Bernoulli en appelle aux plus brillants mathématiciens du monde en publiant ce problème: Quelle courbe est la plus prompte descente? Autrement dit, quelle courbe permet à un objet de se rende sans frottement d’un point à un autre le plus rapidement possible? La réponse n’est pas la ligne droite…

Les mathématiciens de l’époque on appelé cette courbe: la brachistochrone, du grec brachistos «plus court» et  chronos «temps». En fait, il s’agissait de la cycloïde…

Si nous laissons tomber les billes 1 et 2 en même temps du point A, la bille 1 va atteindre le point B bien avant la bille 2. À côté de sa voisine, qui dévale la cycloïde, la bille 2 semble rouler dans la gadoue.

Imaginez une rampe de skate-board en forme de cycloïde.

Écoutez cette vidéo fascinante de Vsauce qui le démontre bien.

Crédits: Vsauce

Vidéo utilisée à des fins éducatives seulement. Aucun profit n’a été engendré par son utilisation.